الوسيط

الوسيط هو أحد مقاييس النزعة المركزية
يعرف الوسيط بالقيمة المشاهدة التي تتوسط البيانات بعد ترتيبها تصاعدياً أو تنازلياً. وعليه تكون عدد القيم (المفردات) قبله مساوي لعدد القيم بعده وله حالات ثلاث:
1) عدد المفردات فردي يساوي n مثلاً فيكون ترتيب الوسيط ½(n+1) وقيمة الوسيط للمفردات 3، 5 ، 9 ، 11 ، 13 هي 9 (المفردات مرتبة تصاعدياً).
2) عدد المفردات زوجي فتوجد قيمين في الوسط ترتيبهم n/2 , n/2+1والوسط الحسابي لقيمهم هو الوسيط فالمفردات 3 ، 5 ، 9 ، 11 ، 13 ، 16 فالوسيط لهذه
المفردات هو الوسط الحسابي للقيمتين (ترتيبهم 6÷2 = 3 ، (6÷2) +1=4) 9، 11 هو (9+11)÷2 = 10 واضح أن العدد 10 قبله 3 مفردات وبعده 3 مفردات.
3) حساب الوسيط من جدول تكراري (البيانات المبوبة) من جدول التكرار المتجمع الصاعد أو النازل أو الرسم البياني لكلاهم أو أحدهم وسنورد هنا تفصيلاً كاملاً لذلك.
حساب الوسيط من البيانات المبوبة:
سبق وأن ذكرنا كيفية تكوين [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] (المتراكم) الصاعد وسنرمز للوسيط بالرمز MD وللتكرار المتجمع الصاعد السابق للفئة الوسيطية CF_k–1 ولتكرار الفئة الوسيطية بالرمز FR_x_kوللحد الأدنى للفئة الوسيطية بالرمز L_kوالوسيط من الجدول التكراري المتجمع يكون (بافتراض التوزيع منتظم داخل الفئة الوسيطية:
الوسيط Med1

ترتيب الوسيط – التكرار المتجمع للفئة السابقة للفئة الوسيطية
الوسيط = الحد الأدنى الفعلي للفئة الوسيطية+ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ × طول الفئة ........ (1)
تكرار الفئة الوسيطية ^*

ترتيب الوسيط – التكرار المتجمع للفئة السابقة للفئة الوسيطية
الوسيط = الحد الأعلى الفعلي للفئة الوسيطية– ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ × طول الفئة ........ (2)
تكرار الفئة الوسيطية ^*
* تكرار الفئة الوسيطية = التكرار المقابل للحد الأعلى للفئة الوسيطية – التكرار المقابل للحد الأدنى للفئة الوسيطية
مثال:
الجدول التكراري الآتي يبين بيانات أعمار 30 مريض لمراجعتهم المستشفى والمطلوب حساب الوسيط بكل الطرق الممكنة.

الفئات(Interval)	12 – 14	15 – 17	18 – 20	21 – 23	24 – 26	27 – 29	Total
التكرار(Frequency)	8	4	7	6	2	3	30

الحل: [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]

الفئات	الحدود الفعلية للفئات	التكرار ( f )	التكرار التراكمي الصاعد ( cf_u )	التكرار التراكمي النازل ( cf_d )	cf_u+ cf_d
.... – 12	....... – 11.5	0	0	30	30
12 – 14	11.5 – 14.5	8	8	22	30
15 – 17	14.5 – 17.5	4	12	18	30
18 – 20	17.5 – 20.5	7	19	11	30
21 – 23	20.5 – 23.5	6	25	5	30
24 – 26	23.5 – 26.5	2	27	3	30
27 – 29	26.5 – 29.5	3	30	0	30
Total		30

لاحظ أن الصفر في الخانة الأولى في تكرار المتجمع الصاعد ناتج من القيم التي أقل من 11.5 والقيمة 30 في تكرار المتجمع النازل ناتجة من القيم التي أكثر من 11.5وفي الغالب لا تذكر تلك القيم بل نبدأ من أول أعلى حد فعلي (14.5).
من ترتيب الوسيط (n/2) وهنا الترتيب 15 نبحث عنه في التكرار المتجمع الصاعد (أو النازل) فنجده
موجود في قيم التكرار المتجمع الصاعد وليكن الترتيب 25 مثلاً فإن الوسيط القيمة المقابلة للقيمة 25 في الحدود الفعلية للفئات أي الوسيط = 23.5
إذا كان ترتيب الوسيط 12 مثلاً فقيمة الوسيط 17.5 (الحد العلوي الفعلي المقابل للقيمة 12)
إذا كان ترتيب الوسيط 19 مثلاً فقيمة الوسيط 20.5 (الحد العلوي الفعلي المقابل للقيمة 19)
في حالة عدم وجوده كحالنا هن 15 فقيمة الوسيط تقع بين 17.5 ، 20.5 وسنبين ذلك أدناه ويكون d20.5 > MD > 17.5
قيم التكرار في عمود المتجمع الصاعد تنتج من قولنا أقل من 11.5 لا يوجد أو صف لم تدون في الجدول لعدم الأهمية وأقل من 14.5 يوجد 8 وأقل من 17.5 يوجد 8+4 وأقل من 20.5 يوجد 8+4+7 وأقل من 23.5 يوجد 8+4+7+6 وهكذا ...
وقيم التكرار في عمود المتجمع النازل تنتج من قولنا أكثر من 14.5 يوجد 30–8=22 وأكثر من 17.5 يوجد 30–(98+4) وأكثر من 20.5 يوجد 30–(8+4+7) وأكثر من 23.5 يوجد 30–(8+4+7+6) وهكذا ... (يمكن الحصول عليه من المتجمع الصاعد بتكملة كل عدد إلى 30 مثل 8 تكمل إلى 22، 12 إلى 18، 19 إلى 11 وهكذا ...
الوسيط كما هو مبين يهتم بالقيم التي تقع حول ترتيبه (15 هنا) أي القيم التي تتوسط البيانات على عكس الوسط الحسابي الذي يأخذ بالاعتبار كل القيم.
وجود قيم شاذة أو متطرفة يجعل التوزيع غير متماثل فتختلف قيم الوسيط عن الوسط فيكون الوسط > الوسيط للقيم الشاذة الكبيرة والعكس الوسط < الوسيط حال وجود قيم شاذة صغيرة، وسنوضح ذلك لاحقاً عند دراسة المنوال.

الحل باستخدام القانون (1) أعلاه↓[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]
يجب أن نعلم بأن الفئات تمثل على المحور السيني والتكرار يمثل على المحور الصادي كما سبق ذكر ذلك فقيمة ترتيب الوسيط (15هنا) تمثل على المحور الصادي (محور التكرار) يقابلها قيمة على المحور السينات ضمن فئتها التي تقع أسفل النقطة المقابلة للترتيب والواقعة على منحنى التكرار المتجمع ومن الجدول وحيث 15 هو ترتيب الوسيط وفي عمود التكرار المتجمع (أعلاه) نجد 15 تقع بين 12 ، 19 يقابلهم 17.5 ، 20.5 كما مبين في الجدول التالي.
ترتيب الوسيط = 30 ÷ 2 = 15 (مجموع التكرار ÷ 2) فالوسيط يقع بين القيمتين 12 ، 19 أي الفئة الوسطية هي 17.5 – 20.5 أي

17.5	12
Median = 17.5 + .............	15
20.5	19

فبتطبيق القانون أعلاه (1) نجد أن:

15–12
الوسيط = 17.5 + ــــــــــــــــــــ × 3 = 17.5 + 1.29 = 18.79
19–12
فبتطبيق القانون أعلاه (2) نجد أن:

19– 15
الوسيط = 20.5 – ــــــــــــــــــــ × 3 = 20.5 – 1.71 = 18.79
19–12

باستخدام النسبة والتناسب
وبملاحظة الجدول أعلاه نجد أن (الفئات) 20.5 – 17.5 = 3 (طول الفئة) قابلة مسافة (تجاوزاً) 19 – 12 = 7 أي لكل 3 في الفئات نحصل على 7 هنا أي لكل جزء في التكرار يقابله 3 ÷ 7 من الفئة ولكننا نريد 15 التي بينها وبين 12 مسافة 3 (أجزاء من 7) فلها من الفئات قيمة = 3 × ( 3 ÷ 7) = 9 ÷ 7 = 1.29 نضيفها على 17.5 بداية الفئة 17.5 + 1.29 = 18.79 وهي قيمة الوسيط . ماذا لو قمنا بالعكس أي قلنا 20.5 (في الفئة) يقابلها 19 (التكرار المتجمع) التي بينها وبين 15 مسافة 4 فيكون لها في الفئة قيمة (أي 4) تساوي 4 × (3 ÷ 7) = 1.71 تنقص من 20.5 أي 20.5 – 1.71= 18.79 وهو نفس الناتج ويمكن تبسيط ذلك كالتالي
15 تقع بين 12 ، 19 فنقول 7 (19– 12) لها 3 ( 20.5 – 17.5) وعددنا 15 يبعد عن 12 مسافة 3 فكم يقابله ؟ أي
7← 3
3← ؟
؟ = 3 × 3 ÷ 7= 1.29 ، يضاف لبداية الفئة 17.5 فنحصل على الوسيط = 17.5 + 1.29 = 18.79
وللتكرار المتجمع الهابط :
15 تقع بين 12 ، 19 فنقول 7 (19– 12) لها 3 ( 20.5 – 17.5) وعددنا 15 يبعد عن 19 مسافة 4 فكم يقابله ؟ أي
7 ← 3
4 ← ؟
؟ = 3 × 4 ÷ 7= 1.71 ، يطرح من نهاية الفئة الوسيطية 20.5 فنحصل على الوسيط = 20.5 – 1.71 = 18.79
باستخدام الرسم البياني

يمكن ذلك برسم محورين أفقي للفئات ورأسي للتكرار المتجمع ـ ثم نعين النقاط في المستوى ( 14.5، ،(17.5، 12)،... ،(29.5 ، 30)
نصل بين النقاط باليد نحصل على المنحنى التكراري المتجمع الصاعد كما مبين بالشكل.
من العدد 15 (ترتيب الوسيط) نرسم مستقيماً أفقياً يقطع المنحى في نقطة م مثلاً.
من نقطة م نسقط عموداً على المحور الأفقي يلاقيه في نقطة ولتكن ب العدد عند النقطة ب هو قيمة الوسيط والقيمة هنا هي 18.8
يمكن تكرار ذلك مع المنحنى التكرار المتجمع الهابط ونصل لنفس الناتج لاحظ الشكل.
رسم المنحنيين الصاعد والنازل ومن نقطة تقاطعهم (م) نسقط العمود على المحور الأفقي (محور الفئات) لنحصل على قيمة الوسيط 18.8 ( لاحظ الشكل ).

الربيع الأدنى والأعلى(الأول والثالث) Quartiles:
المشاهدات التي نقوم برصدها ضمن مفهوم التكرار في جدول التوزيع التكراري والتي سبق أن حسبنا من خلالها الوسيط والذي يقع ترتيبه في المنتصف (لتكرار) أو التي تكون القيمة التي يقل عنها i50%من المشاهدات ويزيد عنها i50%وبنفس الأسلوب يكون:
يُعرف الربيع الأدنى بالقيمة التي يقل عنها i25%من المشاهدات أو يزيد عنها i75%من المشاهدات ويكون ترتيبه مجموع التكرار مقسوم على أربعة ويحسب كالوسيط.
يُعرف الربيع الأعلى بالقيمة التي يقل عنها i75%من المشاهدات أو يزيد عنهاi25%من المشاهدات ويكون ترتيبه مجموع التكرار مضروب فيi75%ويحسب كالوسيط.
يرمز للربيع الأول أو الأدنى بالرمز Q₁ و يرمز للربيع الثالث أو الأعلى بالرمز Q₃و الوسيط بالرمز Q₂ وهو ليس متوسط الربيعين أو لا يساوي ½(Q₃ + Q₁).
العشيرات ( Deciles ):
مفردها العشير وهو ناتج التقسيم العشري ، i0.1هو العشر الأدنى (D₁) من القيم أي ما قبله عشر القيم وبعده تسعة أعشار القيم (i0.9) وتحسب قيمته كحساب الوسيط.
المئينات (Percentile):
المئين الأول هو التقسيم i1منi100ورمزه C₁ أي C₁ = 0.01 من قيم المعطيات والمئين الستينC₆₀ يقع عند i0.60وتحسب قيمته كحساب الوسيط.
مثال:
الجدول التكراري الآتي يبين بيانات أعمار 30 مريض لمراجعتهم المستشفى والمطلوب حساب الوسيط بكل الطرق الممكنة.

27 – 29	24 – 26	21 – 23	18 – 20	15 – 17	12 – 14	الفئات
3	2	6	7	4	8	التكرار

المطلوب حساب كل من Q₁ , Q₃ ,D₃ , C₄₀_{حسابياً وبيانياً.}
الحل:
أولاً: حسابياً:
نكون جدول تكراري المتجمع الصاعد وهو الأساس في حساب المطلوب

الفئات	الحدود الفعلية للفئات	التكرار	التكرار المتجمع الصاعد
08 – 11	11.5	0	0
12 – 14	14.5	8	8
15 – 17	17.5	4	12
18 – 20	20.5	7	19
21 – 23	23.5	6	25
24 – 26	26.5	2	27
27 – 29	29.5	3	30

سنحدد ترتيب كل منهم ثم نعين القيمة بنفس الطريقة التي سبق ذكرها في حساب الوسيط

8 ← 3 3طول الفئة ، i7.5 تقع بين 0 ، 8 (المسافة اللتان تقابل 11.5 ، 14.5 7.5← ؟ 7.5 من ( 7.5 – 0 ) ؟ = 3 × 7.5 ÷ 8 = 2.81 ، يضاف لبداية الفئة 11.5 فنحصل على: الربيع الأول Q₁وقيمته = 11.5 + 2.81 = 14.31	الترتيب = 30 ÷ 4 = 7.5	Q₁
6 ←3 3طول الفئة ، 22.5 تقع بين 19 ، 25 (المسافة 6) اللتان تقابل 20.5 ، 23.5 3.5← ؟ 3.5 من ( 22.5 – 19 ) ؟ = 3 × 3.5 ÷ 6 = 1.75 ، يضاف لبداية الفئة 20.5 فنحصل على: الربيع الثالث Q₃وقيمته = 20.5 + 1.75 = 22.25	الترتيب =3(30 ÷ 4) = 22.5	Q₃
4 ←3 3طول الفئة ، 9 تقع بين 8 ، 12 (المسافة 4) اللتان تقابل 14.5 ، 17.5 1← ؟ 1 من ( 9 – 8 ) ؟ = 3 × 1 ÷ 4 = 0.75 ، يضاف لبداية الفئة 14.5 فنحصل على: الربيع الأول D₃وقيمته = 14.5 +0.75 = 15.25	الترتيب = 3(30 ÷ 10) = 9	D₃
القيمة 12 موجودة وتقابل 17.5 أي: C₄₀ = 17.5	الترتيب = 40(30 ÷ 100) = 12	C₄₀

ثانياً: بيانياً:
من برنامج EXCEL نختار رمز Chart Wizard من شريط القوائم ثمColumn ←Next ←Rows ← Finish فنحصل على الآتيمع ملاحظة إضافتنا للخطوط الأفقية من نقاط الترتيب للمنحنى والرأسية من نقاط تقاطع الخطوط الأفقية مع المنحنى على المحور الأفقي (الفئات) وكتابة النتائج على المحور الأفقي كما مبين بالشكل الآتي:

الوسيط Mode9

المدى الربيعي المتوسط :
هو متوسط الربيعين الأول والثالث أي يساوي نصف مجموعهم وهو يختلف عن Q₂ الذي ترتيبه نصف التكرار وبندر استخدامه وخاصة للعينات التي حجمه أكبر من 5.
المدى الربيعي المتوسط = ½(Q₃ + Q₁) =ـ½ (i22.5+ 14.31)
=I18.4 " سبق أن حسبنا قيمة الوسيط وكانت I18.8"

مشكوووووووووووور اخي

مشكور على هذا الرائع والمبسط شكرا شكرا

مشكووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووور