الوسط الحسابي

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط][ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]

يعتبر الوسط الحسابي من مقاييس النزعة المركزية (الوسط ـ الوسيط ـ المنوال ـ ... ) ويعتبر الوسط الحسابي أكثر المقاييس استخداماُ ويعرف كالآتي:
الوسط الحسابي لمجموعة من القيم عددها نهو القيمة التي لو حلت محل كل قيمة في مجموعة القيم لكان مجموع القيم الجديدة مساوياً لمجموع القيم الأصلية.
- -
وببساطة الوسط الحسابي هو مجموع القيم (س₁، س₂ ، س₃ ، ... ، س_ن ) مقسوماً على عددها (ن) ويرمز له بالرمز س أو X، وتقرأ سين بار ، أكس بار ونحن هنا بصدد العينة وفي حالة المجتمع يرمز للوسط الحسابي بالرمز μ ويقرأ ميو وعدد القيم N أي أنَّ:



وفي حال وجود أكثر من مجموعة فيكون الوسط الحسابي هو:


ـــ
حيث أن x₁ هو المتوسط الحسابي لمجموعة القيم التي عددها n₁
ـــ
حيث أن x₂هو المتوسط الحسابي لمجموعة القيم التي عددها n₂
ـــ
حيث أن x₃هو المتوسط الحسابي لمجموعة القيم التي عددها n₃
...................................................................................

...................................................................................

...................................................................................

ـــ
حيث أن x_n هو المتوسط الحسابي لمجموعة القيم التي عددها n_n



خواص المتوسط الحسابي

• 
  يعتمد على جميع القيم والمشاهدات محل الدراسة
  
• 
  هو نقطة اتزان المشاهدات
  
• 
  انحراف الدرجة عن المتوسط يساوي بعدها عنه.
  
• 
  المجموع الجبري لانحرافات القيم عن وسطها الحسابي يساوي صفراً
  
• 
  مربع الانحرافات اقل ما يمكن عن الوسط
  
• 
  إضافة قيمة ثابتة إلى الدرجات أو طرحها منها أو ضربها فيه أو قسمتها عليه مما يجعل المتوسط الحسابي يزداد أو يقل بقيمة ثابتة.
  
• 
  المتوسط الحسابي يتأثر بالدرجات القريبة منه تأثرا قليلا ، بينما يتأثر بالدرجات البعيدة عنه تأثرا كبيرا .
  
• 
  اقل مقاييس النزعة المركزية تأثرا بالتقلبات العينية
  
• 
  يتأثر بالقيم المتطرفة والقيم الشاذة لذا لا يصلح للتوزيعات الملتوية بمعنى أن الوسط الحسابي للقيم 20، 30 ، 40 ،50 ، 120هو 260 ÷ 5 = 52 أكبر من غالبية القيم الموجودة بسبب القيمة 120 الشاذة عن باقي القيم الأخرى المتقاربة فيما بينها وهذا يقودنا لعدم صلاحية الوسط الحسابي لتوزيعات تكرارية شديدة الالتواء.
  

الحالات التي لا يصلح المتوسط الحسابي فيها :
1- عندما تكون قيم التوزيع متجمعة في طرف واحد أكثر من الطرف الأخر.
2- إذا كانت هناك قيم شاذة تتخلل التوزيع.
3- إذا كانت البيانات مبوبة في فئات وكان التوزيع مفتوحا في أحد طرفيه.
4- إذا كانت الفئات متباعدة نسبيا.
5- لا يمكن إيجاده من الرسم البياني كالوسيط والمنوال.
6ـ لا يمكن إيجاده من التوزيع التكراري المفتوح إلا في حال تقدير مراكز الفئات المفتوحة.
7ـ عدم صلاحية الوسط الحسابي لتوزيعات تكرارية شديدة الالتواء.



مثال (1): أوجد المتوسط الحسابي لمجموعة القيم 3، 5، 8، 11، 3 [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]
الحـــــــل: مجموع القيم = 3 + 5 + 8 + 11 + 3 = 30 [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]
عدد القيم = 5 [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]
الوسط الحسابي = 30 ÷ 5 [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] "ذات علاقة بالانحراف المعياري"
= 6 [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط][ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] طرق مختلفة لحساب الوسط الحسابي
أو [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]
ــــ س₁+ س₂ + س₃ + ... + س_ن
س = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ن

ــــ 3 + 5 + 8 + 11 + 3 30
س = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــ = 6
5 5
مثال (2): إذا كان الوسط الحسابي لمجموعة القيم 2، 5، 9، 13، س، 6 يساوي 7 فما قيمة س؟
الحـــــــل: مجموع القيم = 2+ 5 +9 +13 + س + 6 = 35 + س
عدد القيم = 6
ــــ x₁ + x₂ + x₃ + ..... + x_n
X =ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
n

ــــ _{d 2 + 5 + 9 + 13 + x + 6}
X =ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
6
_{d 35 + x}
7 =ــــــــــــــــ
6
42 = 35 + x
x = 42– 35
x = 7

الوسط الحسابي من البيانات المبوبة أي الموجودة ضمن جدول تكراري، فإذا كان لدينا مجموعة من القيم المكررة والملخصة في جدول تكراري بسيط حسب القيمة مع تكرارها فالوسط الحسابي يساوي مجموع حاصل ضرب هذه القيم في تكراها مقسوماً على مجموع التكرارات، ونستخدم القانون التالي لحساب الوسط الحسابي للبيانات المبوبة (الجدول التكراري)

حيث x مركز الفئة ، ƒ التكرار
مثال: احسب الوسط الحسابي للبيانات المبينة في الجدول التكراري الآتي لدرجات 30 طالب في مادة الإحصاء:

الحل:
من الواضح في الجدول بأن الفئة 12 ـ 14 تكرارها يساوي 8 أي أن ممن حصلوا على درجات في هذه الفئة عددهم 8 فإذا فرضنا أن هؤلاء حصل كل منهم على الدرجة الواقعة في مركز الفئة وهي (12 + 14) ÷ 2 = 13 فيكون هؤلاء الثمانية قد حصلوا على درجات مجموعها 8 × 13 = 104 وعليه يكون الباقي والخطوات هي:
1)نستخرج مراكز الفئات بإضافة عمود جديد للجدول
2) نضرب مركز كل فئة × التكرار المقابل لها
3) نحصل على الجدول الآتي:

4) نحسب الوسط الحسابي من القانون:


567
=——– = 18.9
30

مشكورر

merciiiiiiiiiiiiiii

مشكووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووووور

w34h5w4345h5555